Τυχαιότητα, ο νόμος του Benford και…..οι φοροφυγάδες !

H ιστοσελίδα www.arandomnumber.com   ζητά από τους επισκέπτες της να δίνουν ο καθένας έναν αριθμό τυχαία από το  1  μέχρι το  100 χωρίς περαιτέρω διευκρινήσεις . Με τα δεδομένα που  συλλέγει   ο δημιουργός της σελίδας, ο Graig Lambs  προσπάθησε να αναγνωρίσει μοτίβα και συμπεριφορές στην επιλογή των αριθμών από τους ανθρώπους .Αυτό που διαπίστωσε ότι οι επιλογές τους κάθε άλλο παρά τυχαίες ήταν….

Οι πέντε πιο δημοφιλείς αριθμοί ήταν 5, 37, 7, 56, 42.Ο αριθμός 5 εμφανίστηκε  3 φόρες  συχνότερα από ότι θα έπρεπε, αν οι αριθμοί επιλέγονταν τυχαία. Ο δημιουργός της σελίδας εικάζει ότι ο λόγος της συχνής επιλογής του 5 είναι ότι ο 5 βρίσκεται στην μέση της γραμμής με τα αριθμητικά πλήκτρα στο κυρίως πληκτρολόγιο, όπως επίσης και στο μέσο του τετραγώνου  αριθμητικού πληκτρολογίου πράγμα που το καθιστά  ορατό  και παράλληλα την πιο εύκολη επιλογή. Οι αριθμοί 7,37  επιλέγονται πιο  συχνά επειδή είναι πρώτοι . Νυμφώνα με τον Graig Lambs  (αυτή είναι μια  εκδοχή που μου αρέσει )  το 42 είναι τόσο δημοφιλής αριθμός εξαιτίας του βιβλίου του Ντάγκλας Ανταμς (που γυρίστηκε και ταινία ) «Γυρίστε τον Γαλαξία με ωτοστόπ». Στο βιβλίο του Ανταμς , η “Ύψιστη Απάντηση στη Ζωή, στο Σύμπαν και στα Πάντα”, αναζητείται χρησιμοποιώντας τον υπερυπολογιστή Deep Thought. Ύστερα από έναν πολύ μεγάλο χρόνο υπολογισμού – 7,5 εκατομμύρια χρόνια – ο Deep Thought δίνει την απάντηση “αριθμός 42″ .

Οι  πέντε λιγότερο δημοφιλείς αριθμοί τους οποίους δεν επέλεξε σχεδόν κάνεις  είναι : 40, 91, 94, 70, 90 . Είναι εύκολο να συμπεράνουμε οι άνθρωποι όσο και να προσπαθούν όταν διαλέγουν αριθμούς δεν το κάνουν τυχαία, ακολουθούν έστω και ασυνείδητα κάποιες συμπεριφορές. Αυτή είναι και η αχίλλειος πτέρνα των απανταχού τζογαδόρων  νομίζουν ότι και στα τυχερά παίγνια υπάρχουν τέτοιες κανονικότητες , σχέδια τα οποία προσπαθούν να ανακαλύψουν για να κερδίσουν.  Ένας γνωστός μου έπαιζε  τζοκερ το γνωστό παιχνίδι του οπαπ , αφού μελετούσε τις συχνότητες εμφάνισης κάθε αριθμού ξεχωριστά ..δεν έχει κερδίσει ποτέ.

 ___

H πιθανότητα ενός ψηφίου να βρίσκεται πρώτο σε μια αριθμητική ακολουθία.

     Όμως δεν είναι μόνο οι αριθμοί που επιλέγουμε  αυτοί που συγκεντρώνουν κοινά χαρακτηριστικά αλλά κάθε  σύνολο αριθμητικών δεδομένων. Για παράδειγμα ο νόμος του Benford ισχυρίζεται ότι όταν έχουμε αριθμητικά δεδομένα ενώ θα περιμέναμε για το πρώτο ψηφίο  των αριθμών,  όλα τα ψηφία από το 1,9 να έχουν την ίδια συχνότητα εμφάνισης,  δεν συμβαίνει αυτό. Τις περισσότερες φορές έχουμε της εξής κατανομή συχνοτήτων.

ψηφιο	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Πιθανότητα εμφάνισης   πρώτου ψηφίου (%)	30.1	17.6	12.5	9.7	7.9	6.7	5.8	5.1	4.6

Για παράδειγμα το 1  εμφανίζεται πιο συχνά , 30 στις 100 φόρες σε αντίθεση με το 9 που εμφανίζεται   μόνο 4.6 φορές στις 100.

Η εμφάνιση του φαινόμενου είχε επισημανθεί για πρώτη φορά το 1881 από τον Αμερικανό αστρονόμο Simon Newcomb. Την εποχή εκείνη δεν  υπήρχαν υπολογιστές ούτε καν αριθμομηχανές χειρός ,όλοι οι υπολογισμοί γίνονταν στο χέρι ή με την βοήθεια του λογαριθμικού κανόνα . Αργότερα  το 1938 ο  Frank Benford έναs  φυσικός κατόρθωσε να επαλήθευσει το νόμο του πρώτου ψηφίου, και πήρε το όνομα  του .

Ο τύπος για την πιθανότητα εμφάνισης  των ψηφίων από το 1,..,9   είναι :

                                 log₁₀(v+1)- log₁₀(v)

όπου  v=1,2,3…,9

Ο νόμος του πρώτου ψηφίου  φαίνεται να δουλεύει καλύτερα σε  μεγάλα δείγματα αριθμητικών μεγεθών  . Ο Clifford pickover  στο βιβλίο του “passion for mathematics”  αναφέρει ότι το IRS το σώμα οικονομικού εγκλήματος στην Αμερική το οποίο είναι το πιο εξελιγμένο στο κόσμο(καμία σχέση με την δική μας εφορία  ) χρησιμοποιεί το νόμο του Benford ,για να εντοπισμό φορολογικές απατές που προκύπτουν με μαγείρεμα των οικονομικών στοιχειών. Ο επίδοξος φοροφυγάς προσπαθεί να κατανείμει τα δεδομένα του ομοιόμορφα  κάτι το όποιο δεν ισχύει στα πραγματικά αριθμητικά δεδομένα.

  Πηγή: mathhmagic.blogspot.gr